Теорема синусов

Эта статья — о теореме планиметрии. О теореме для сферических треугольников см. Теорема синусов (сферическая геометрия).

Стандартные обозначения

Теоре́ма си́нусов — теорема, устанавливающая зависимость между длинами сторон треугольника и величиной противолежащих им углов. Существуют два варианта теоремы; обычная теорема синусов:

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. [math]\displaystyle{ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} }[/math]

и расширенная теорема синусов:

Для произвольного треугольника [math]\displaystyle{ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R, }[/math] где [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math] — стороны треугольника, [math]\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma }[/math] — соответственно противолежащие им углы, а [math]\displaystyle{ R }[/math] — радиус окружности, описанной около треугольника.

Доказательства

Доказательство обычной теоремы синусов

Воспользуемся только определением высоты [math]\displaystyle{ h_b }[/math] треугольника, опущенной на сторону b, и синуса для двух углов:

[math]\displaystyle{ h_b=a \sin \gamma= c \sin \alpha }[/math]. Следовательно, [math]\displaystyle{ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{c}{\sin\gamma} }[/math], что и требовалось доказать. Повторив те же рассуждения для двух других сторон треугольника, получаем окончательный вариант обычной теоремы синусов. ∎

Доказательство расширенной теоремы синусов

Доказательство

Достаточно доказать, что

[math]\displaystyle{ \frac{a}{\sin\alpha} = 2R. }[/math]

Проведем диаметр [math]\displaystyle{ |BG| }[/math] для описанной окружности. По свойству углов, вписанных в окружность, угол [math]\displaystyle{ GCB }[/math] прямой, а угол [math]\displaystyle{ CGB }[/math] равен либо [math]\displaystyle{ \alpha }[/math], если точки [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ G }[/math] лежат по одну сторону от прямой [math]\displaystyle{ BC }[/math], либо [math]\displaystyle{ \pi-\alpha }[/math] в противном случае. Поскольку [math]\displaystyle{ \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha }[/math], в обоих случаях получаем

[math]\displaystyle{ a=2R\sin\alpha }[/math].

Повторив то же рассуждение для двух других сторон треугольника, получаем:

[math]\displaystyle{ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R. }[/math] ∎

Доказательство через формулы нахождения площади треугольника

Возьмем две формулы для нахождения площади треугольника [math]\displaystyle{ S = \frac{abc}{4R} }[/math] и [math]\displaystyle{ S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma. }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{cases} \frac{abc}{4R} = \frac{1}{2}ab \sin \gamma \\ \frac{abc}{4R} = \frac{1}{2}ac \sin \beta \\ \frac{abc}{4R} = \frac{1}{2}bc \sin \alpha \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \frac{c}{2R} = \sin \gamma \\ \frac{b}{2R} = \sin \beta \\ \frac{a}{2R} = \sin \alpha \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2R = \frac{c}{\sin \gamma} \\ 2R = \frac{b}{\sin \beta} \\ 2R = \frac{a}{\sin \alpha} \end{cases} \Leftrightarrow 2R = \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}. }[/math] ∎

Вариации и обобщения

В треугольнике против большего угла лежит бо́льшая сторона, против большей стороны лежит больший угол.

В симплексе

[math]\displaystyle{ V_n=\frac{n-1}{n}\cdot\frac{{V_{n-1}^i}{V_{n-1}^j}}{V_{n-2}^{i,j}}\cdot \sin {A_{i,j}}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ A_{i,j} }[/math] — угол между гранями [math]\displaystyle{ V_{n-1}^i }[/math] и [math]\displaystyle{ V_{n-1}^j }[/math]; [math]\displaystyle{ V_{n-2}^{i,j} }[/math] — общая грань [math]\displaystyle{ V_{n-1}^i }[/math] и [math]\displaystyle{ V_{n-1}^j }[/math]; [math]\displaystyle{ V_n }[/math] — объём симплекса.

История

• В первой главе Альмагеста (около 140 года н. э.) теорема синусов используется, но явно не формулируется.
• Древнейшее из дошедших до нас доказательств теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике» написанной в XIII веке.
• Теорема синусов для сферического треугольника была доказана математиками средневекового Востока ещё в X веке. В труде Ал-Джайяни XI века «Книга о неизвестных дугах сферы» приводилось общее доказательство теоремы синусов на сфере.

Вариации и обобщения

• Сферическая теорема синусов
• На плоскости Лобачевского с кривизной [math]\displaystyle{ -1 }[/math] теорема синусов принимает следующую форму:

  [math]\displaystyle{ \frac{\sin A}{\mathrm{sh}\,a} = \frac{\sin B}{\mathrm{sh}\,b} = \frac{\sin C}{\mathrm{sh}\,c}. }[/math]

• Теорема косинусов
• Теорема котангенсов
• Теорема о проекциях
• Теорема Пифагора
• Теорема тангенсов
• Тригонометрические тождества
• Тригонометрические функции
• Формулы Мольвейде